Fejezetek
A matematika olyan, mint a pókháló. A pók számára (hisz ő maga építette föl): jól áttekinthető, világos szerkezet, a belegabalyodó légynek viszont áttekinthetetlen kuszaság. Részben azért, mert készen találta azt. Ha azt akarjuk, hogy a tanuló számára élményt jelentsen a matematika tanulása, akkor nem a „készterméket” kell tanítanunk, hanem azt a folyamatot, amelynek során fölépül, születik a tételek, fogalmak egymást átszövő láncolata.
Kálmán Attila
A gimnáziumi matematika tantervben a halmazok ismerete lehetővé teszik, hogy az algebrai számok egy meghatározott részére összpontosítson. Természetes számok, egész számok és valós számok, a halmazok segítenek meghatározni egy koordinátakészletet, egy zárt intervallumot vagy akár egy nyitott halmazt. A Superprof segítségével felfrissítheted az emlékeid ezekről az alapvető fogalmakról és jellemzőikről. Meglátod, nem kell mindent tudnod Pitagoraszról vagy a többi konkrét tételről. A halmazok megértéséhez csupán logikára van szükséged.
Hogyan hozz létre lenyűgöző geometriai mintákat?
Mi az intervallum?
Egy kis emlékeztető a kilencedikes matematika óráról: az intervallum egy halmazt jelöl ki, két érték között lévő összes elemet, amik ezért benne vannak az intervallumban.
Tételezzük fel, hogy R a valós számok halmaza, vagy ha jobban tetszik a valós számok fokozatos sorozata. Intervallumnak nevezzük azt a valós számhalmazt, ami két pozitív vagy negatív valós szám, a és b között áll, vagy egy egyenes a és b közötti pontjait. Vegyük például a [4 ; 6] intervallumot. Ez a valós x számok halmazát jelöli úgy, hogy az 4 ≤ x és x ≤ 6 állításnak igaznak kell lennie. A 4, 5 és 6 pozitív számok ezért benne vannak az intervallumban, x nagyobb, mint 4 és kisebb vagy egyenlő, mint 6. Többféle intervallumot különböztetünk meg, álljon itt néhány példa:
• Zárt intervallum,
• Nyitott intervallum,
• Két vagy több intervallum metszete,
• Az intervallumok uniója. Most vizsgáljuk meg, hogy egy matematikus hogyan alkalmazhatja az intervallumokat egy határozott halmaz pozitív és negatív számaival, tizedesjegyekkel és különböző halmazokkal.
Ismerd meg az algoritmusok titkait!
Hogyan írjunk az intervallumokról?
Matematika órán az intervallum határait szögletes zárójellel jelöljük. Megkülönböztetünk nyitott intervallumokat] a ; b [ , zárt intervallumokat [a ; b] és félig nyitott intervallumokat [a ; b [ és ] a ; b].A határértékek felírásához természetesen matematikai sorrendet kell követni, méghozzá növekvő sorrendet. Azaz először az alsó határt, majd a felső határt említjük. Soha ne írj csökkenő sorrendben, mert az logikátlan lenne. Ha a szögletes zárójelek zárva vannak, az azt jelenti, hogy minden korlát az intervallumhoz tartozik. Ha a szögletes zárójelek nyitva vannak, az azt jelenti, hogy a határok nem tartoznak az intervallumhoz. Arról se feledkezz el, hogy az intervallumokat nem szabad összetéveszteni a kapcsos zárójelek közt említett számkészletekkel. Például itt van a {0; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5; 6 ; 7; 8 ; 9} egész számok halmaza. Ez 0-tól 9-ig minden számjegyet tartalmaz. Az absztrakt halmazokat az ABC betűivel jelöljük. Amikor intervallumokról beszélünk, gyakran szembe találkozhatsz a következő jelölésekkel:
• N a természetes számok halmazát jelöli,
• Z a relatív egész számok halmazát jelöli,
• D a decimális számok halmazát jelöli,
• Q a racionális számok halmazát jelöli (azaz azokat a számokat, amelyek két relatív egész szám hányadosaként írhatók fel)
• R a valós számok halmazát jelöli,
• I a két halmaz metszete,
• U két intervallum unióját jelöli.
Keresd fel matematika magántanárainkat.
Az online matematika órákon olyan matematikai jelekkel is találkozhat, amik két valós számhalmazt és azok interakcióját jelölik. Elsőre kissé bonyolultnak és elvontnak tűnhetnek, de gyakorlással látni fogod, hogy az intervallumokat nagyon könnyű használni. Általában egy kör alakú diagram segítségével jelenítjük meg a matematikai adatokat. A diagramnak köszönhetően pedig nagyon gyorsan láthatod, hogyan hatnak egymásra az intervallumok. Ismételd át a gyakorlatokat, azért, hogy az intervallumok írásához használt összes elem és szimbólum helyesen rögződjön. Így időt takaríthatsz meg és sokkal gyorsabban számolhatsz. Az intervallumok átismétlésének befejezéseként álljon itt egy összefoglaló táblázat a kifejezésükre használt jelekről:
| Matematikai jelek | Jelentés |
| ∈ | Részhalmaza |
| ∉ | Nem részhalmaza |
| ∞ | Végtelen halmaz |
| ∩ | Metszet |
| ∪ | Unió |
| ≠ | Nem egyenlő |
| ≤ | Kisebb vagy egyenlő |
| ≥ | Nagyobb vagy egyenlő |
| < | Kisebb |
| > | Nagyobb |
Most, hogy olyan verhetetlen vagy az intervallumokban, mint a nagy matematikusok, egy sor példának köszönhetően bemutatjuk, hogyan használhatod ezeket a matematikai szimbólumokat egy intervallum leírására. „Általában egy élet két szám közé van írva, amelyek behatárolják a földi utunkat, a bejáratot és a kijáratot. A matematikának az a feladata, hogy megoldja ezt az ismeretlenekkel teli egyenletet, ami a kettő között van.” Jean Rouaud
Hogyan számold ki a meridiánt?
Hogyan lehet megoldani egy intervallumot?
Most nézzük meg, hogyan lehet egy intervallumot megoldani. Ne aggódj, ha figyelmesen elolvasod ezt az állítást, és rajzolsz egy diagramot, hogy szemléltesd, mit tartalmaz egy halmazt, mi tartozik a halmazhoz, és mi nem, könnyen megoldhatsz minden kérdést. Azonban légy résen, figyelmesen nézd meg a szögletes zárójelek irányát, hiszen ezek meghatározóak abban, hogy a korlát az intervallumhoz tartozik-e vagy sem. Ha elsajátítottad, hogyan kell értelmezni a matematikai jeleket, akkor képes leszel megkülönböztetni a következő intervallumokat:
Minden, amit a matekról tudni akarsz
Zárt intervallumok
A zárt intervallum tartalmazza az intervallum határait, vagyis azokat a pontokat, amik körül határolják. Különböző módon jelölhetjük, hogy x azon valós számok halmaza, amik a és b között helyezkednek el:
• [a ; b] = a ≤ x ≤ b,
• [ a ; b] = a ≤ x < b,
• ] a ; b] = a < x ≤ b,
• ] a ; b [= a < x < b. A matematika órán, ha a zárójelek zárva vannak, x nagyobb vagy egyenlő, mint a és kisebb, mint b. Ha a szögletes zárójelek nyitva vannak, x szigorúan nagyobb, mint a, és szigorúan kisebb, mint b. Látod, van egy sor lehetséges meghatározás.
Barkácsolnál? Készíts papírkúpot!
Nyílt intervallumok
Ha az a és b különböző számok:
•[a ; ∞[= x ≥ a,
•] a ; ∞[= x > a,
• ] - ∞ ; b] = x ≤ b,
• ] - ∞ ; b [= x < b.
Nyitott intervallumról akkor beszélünk, ha az intervallum egyik határa a végtelen. Nem tudjuk, hol kezdődik vagy végződik az intervallum.
Az intervallumok kölcsönhatása
Az [a ; b] és [c ; d] intervallumok metszéspontja azon számok halmaza, amik egyszerre tartoznak mindkét halmazba. Ezt a metszéspontot ezzel a ∩ lekerekített jellel jelöljük. Legyen a, b, c és d négy pozitív egész szám úgy, hogy a két intervallum közötti I metszéspontot ilyen módon jelöljük: I=[a ; b] ∩ [c ; d] vagy I=[c; d] ∩ [a ; b] Például: 2 ∈[0 ; 5] ∩[2 ; 6], mert 2 ∈[0 ; 5] és 2 [2 ; 6] Két intervallum metszéspontjának meghatározásához az ideális, ha egy halmazt egy valós egyenesen ábrázolunk. Így rögtön látni fogod, hogy az egyes elemek hogyan helyezkednek el, és mik a kommutatív, vagyis a halmazt alkotó elemek.
Intervallumok uniója
Unióról akkor beszélünk, ha x a valós számok olyan halmaza, ami vagy az [a ;b] intervallumban vagy a [c ;d] intervallumban. Az uniót ∪ jellel jelöljük. Legyen a, b, c és d négy képzeletbeli szám úgy, hogy e két intervallum közötti U uniót feljegyezzük: U=[a ; b] ∪ [c ; d] vagy U=[c ; d] ∪ [a ; b] Például: 2 ∈[0 ; 5] ∪ [2 ; 6], mert 2 ∈[0 ; 5] 3,8 ∈[0 ; 5] ∪ [2 ; 6], mert 3,8 ∈[0 ; 6] Két intervallum metszéspontjának meghatározásához a két intervallumot egy számegyenesen ábrázoljuk, és azonosítjuk az első intervallum számkészletét plusz a második intervallum számkészletét. Hogyan faktorizáljunk matekból?
Egyenlőtlenségek
Ennél a lehetőségnél emlékeznünk kell arra, hogy egy egyenlőtlenség megoldáshalmaza mindig egy intervallum vagy üres halmaz. Az ismeretlen x egyenlőtlensége a következő alakú kifejezés: A(x) ≤ B(x) vagy A(x)<B(x), ahol x egy ismeretlen változó. Az egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni x összes olyan értékét, amire az egyenlőtlenség teljesül: az x valós számok ezen halmazát ezután az egyenlőtlenség megoldás halmazának nevezzük. Két egyenlőtlenséget ekvivalensnek mondunk, ha ugyanaz a megoldáshalmazuk. Íme az egyenlőtlenségek lehetséges transzformációi, amik ekvivalens egyenlőtlenséggé alakítják át őket:
• Mindkét taghoz hozzáadjuk vagy kivonjuk ugyanazt a nullától eltérő számot,
• Szorozzuk vagy osszuk el a két tagot ugyanazzal a nullától eltérő pozitív számmal,
• Szorozzuk vagy osszuk el a két tagot ugyanazzal a nullától eltérő negatív számmal,
• Tagok kibontása, prímszámokra bontása.
Egyenlőtlenség
Az egyenlőtlenségekről három szabályt kell ismerni.
Az első az, hogy egy egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a számot vagy ki is vonhatjuk belőle: ha a≤b, akkor a+c≤b+c.
A második, hogy tagonként összeadhatunk két azonos irányú egyenlőtlenséget: ha a≤b és c≤d, akkor a+c≤b+d.
És végül a harmadik, hogy egy egyenlőtlenség minden tagját megszorozhatjuk vagy oszthatjuk ugyanazzal a nullától eltérő számmal, feltéve, hogy megváltoztatjuk az egyenlőtlenség irányát, ha ez a szám negatív.
Abszolút érték
Az x valós szám abszolút értéke a számegyenesen a nullától való távolsága, tehát magáról a számról van szó, előjel nélkül. Hogyan számítsuk ki az intervallumok vagy a metszéspontok unióját? Cikkünknek köszönhetően mindenre meg találhatod a választ. Reméljük, hogy cikkünk segítségével át tudtál ismételni mindent a halmazműveletekről és az intervallumokról, ideértve a legfontosabb fogalmakat és a legismertebb műveleteket. Biztos hallottad már matek órán, hogy a matematikában -∞ és +∞ közötti valós számokat használunk. Legtöbbször ezeknek a számoknak csak egy része érdekel minket. Ilyenkor jönnek képbe az intervallumok és a halmazok. A legtöbb matek feladatban csak egy bizonyos halmazhoz tartozó számokat, vagy éppen ellenkezőleg, a halmazból kizárt számokat vizsgáljuk.
A platform , amely összeköti a magántanárokat és a tanulni vágyókat
Tetszett ez a cikk? Értékeld!
Loading...