Fejezetek
Ha valaki nem hiszi, hogy a matematika egyszerű, az azért van, mert még nem jött rá, hogy milyen bonyolult az élet.
Neumann János
A középiskolások hamar szembesülnek a matematika tanterv egyik központi témájával, a faktorizációval, ami megkönnyíti az összeadások és kivonások kiszámítását, valamint bizonyos egyenletek feloldását. A Központi Statisztikai Hivatal adatai szerint Magyarországon 1,8 millió fiatal vett részt az oktatás különböző szintjeiben a 2021/2022-es tanévben, ebből 511 ezren a középfokú oktatási intézményekben tanultak. A tanulók azonban néha nehézségekbe ütköznek az algebrai kifejezésekkel kapcsolatban, és a számítások egyszerűsítésével. Ebben a cikkben átismételjük veled az algebrai kifejezések faktorizációjának különböző módszereit!
Szeretnéd megismerni a halmazok titkait?
Bevezetés: mi is a faktorizáció?
A matek órán egy algebrai kifejezés faktorizációja azt jelenti, hogy két vagy több tényező szorzatává alakítjuk. Ez arra szolgál, hogy egyszerűsítsük a kifejezést, és ezzel egyszerűbbé tegyük a számításokat is. A fejszámolásban például gyakori, hogy a faktorizációt hasonló kifejezések csoportosításával hajtjuk végre: egyrészt azonosítjuk a közös tényezőket, majd elvégezzük a két hasonló tag összeadását. Vegyünk például egy egyszerű műveletet, például 200 x 25 + 425 x 25. Az eredmény kiszámításához a következőképpen egyszerűsítjük a számítást:
- 200 x 25 + 425 x 25,
- = 25 x (200+425),
- = 25 x 625,
- = 15 625.
Ebben az esetben a 25 lesz a szorzásoknak a közös tényezője. Nem kell mást tenned, mint összeadni a másik két tagot, és egy közös szorzót, jelen esetben a 25-öt alkalmazni, hogy megkapjuk az egyenlet felbontását. Tegyük fel, hogy ki akarjuk számolni két kör közös felületét. Az egyik kör sugara 25 cm, a másiké pedig 15 cm. Az algebrai számítások sikeréhez meg kell keresnünk a különbséget e két kör területe között: T = (π x R²) - (π x R²) = (π x 25²) - (π x 15²). (π x 25²) - (π x 15²) azt jelenti, hogy először a két szorzatot négyzetét kell kiszámolnunk, majd meg kell szoroznunk egy hozzávetőleges π értékkel (3,14), hogy végül elvégezzük a két terület közötti kivonást. Legyen: A = π x (25² - 15²). A nevezetes azonosságoknak köszönhetően tudjuk, hogy két négyzet közötti különbség a következő formában jelentkezik:
- a² - b² = (a - b) (a + b),
- A = π (25 - 15) x (25 + 15),
- = π x 10 x 40,
- = π x 400, az az 400 π.
Ha π hozzávetőleges értéke 3,14, akkor a példában a két kör közötti területe 400 π, vagyis körülbelül 1256 cm². Ezenkívül az algebrai kifejezések szorzatra bontását széles körben használják elsőfokú egyenletek megoldására.
Hogyan hozz létre lenyűgöző geometriai mintákat?
Hogyan lehet faktorizálni egy algebrai kifejezést?
Mint mindig a matekban, amikor számításokat szeretnél megoldani, műveleteket kibontani vagy átalakítani egy szorzatot, először ismerned kell az algebra szabályait.Ahhoz, hogy egy kifejezést faktorok szorzatává alakítsuk, először meg kell találnunk a közös tényezőt. Meg kell keresnünk azt a közös tagot, ami lehetővé teszi, hogy az első tagot megszorozzuk a másodikkal: 4x+20 például egyenlő 2 x (2x + 10). A faktorálás tehát azt jelenti, hogy meg kell tanulnod azonosítani a közös szorzókat és kibontani a kifejezést. A matekórán a faktorizációhoz két módszert fogunk használni:
• A szorzattá alakítás,
• Nevezetes azonosság
Ha meg akarjuk ismerni az f(x) = 0 egyenlet eredményét, akkor emlékeznünk kell, hogy egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha az egyik szorzó nulla. Ha f(x) = 0 felírható y(x) x (g(x) = 0 alakban, akkor elegendő megtalálnunk azokat a körülményeket, amiben y(x) = 0 vagy g(x) = 0 Íme egy másik példa: Képzeljük el, hogy az év végi témazáróban a következő algebrai egyenletet kell megoldanod: 4x² = 64. Az egyenlet megoldása nem egyszerű. Az egyik megoldás, hogy az x-et 1-re, 2-re, majd 3-ra cseréljük, amíg meg nem találjuk azt az x értéket, amivel működik a 4x² = 64 egyenlet. De ha az egyenletet átalakítjuk, akkor sokkal könnyebb lesz megoldanunk. A 4x²=64 egyenletből 4x²- 64 = 0 lesz. Itt az f(x) algebrai kifejezés 4x² - 64. Ha f(x) egyenlő 0-val, akkor a 4x² - 64 különbsége is nulla. Ebben felismerhetünk egy nevezetes azonosságot, két négyzet különbségét. A kifejezést a következő módon alakíthatjuk át: (2x - 8) (2x +8) = 0.
Hogyan számold ki a meridiánt?
Ahhoz, hogy az egyenlőség igaz legyen, akkor elegendő, ha 2x - 8 = 0 vagy 2x + 8 = 0. De 2x - 8 = 0 megoldása 8/2, azaz 4, 2x + 8 pedig -4. A 4x² = 64 egyenletnek tehát két megoldása van: [-4; 4]. Óvatosnak kell lenned a másodfokú vagy elsőfokú egyenletek megoldásánál az előjelek miatt. Egyszerűsítés után egy pozitív előjelű tag átlépése az egyenlőségjel másik oldalán negatívvá teszi azt, és fordítva. Légy azzal is óvatos, hogy a polinomok írásánál zárójelet kell tenned. Ha kibontod a zárójeleket, akkor megváltozhat a műveletek sorrendje. Végül mindig ellenőrizned kell az eredményeket, hogy megbizonyosodj arról, hogy a matematikai érvelés nem vezetett-e félre. Bosszantó lehet, ha figyelmetlenség miatt értékes pontokat vesztesz a matek érettségin egy rossz előjel miatt. Ha például az jön ki eredménynek, hogy x = 2 a 2x + 4 = 0 esetén
Minden, amit a matekról tudni akarsz
Több közös tényező faktorizációja
Ha a közös tényező egyetlen tagból áll, a művelet viszonylag egyszerű.De mi történik, ha a közös tényező két tagból áll? Íme egy rövid faktorálási gyakorlat: Határozd meg a közös tényezőt, majd faktoráld a következő kifejezést: (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3). A kifejezés az (ax + ...) + (ax + ...) alakot veszi fel. Itt a közös tényező az (x + 3), két taggal. A faktorizációhoz a kifejezést ugyanazzal az eljárással bővítjük és osztjuk, mint egy tag esetében (2x + 4 = x(x+2)), de további zárójeleket kell beszúrnunk a zárójelek közé a kifejezések megfelelő elkülönítése érdekében. Íme az eredmény:
- A közös tényező a (x + 3),
- A kiemelés szabályát alkalmazzuk, de közben odafigyelünk a műveleti sorrendre,
- A = (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3),
- A = (x + 3) [(2x – 1) – (4x – 5)],
- A = (x + 3) (2x – 1 – 4x + 5),
- A = (x + 3) (– 2x + 4).
Ahhoz, hogy A egyenlő legyen 0-val, a következő állításoknak kell igaznak lenniük: (x + 3) = 0 vagy (-2x + 4) = 0. Ezért két megoldásunk van: x = -3 vagy x = 2.
Barkácsolnál? Készíts papírkúpot!
Nevezetes azonosságok és a faktorizáció
A nevezetes azonosságokat akkor alkalmazzuk, ha az algebrai kifejezésben nem azonosítható közös tényező. Nevezetes azonosságokat használunk ahhoz, hogy a számtani kifejezéseket kibontsuk. De fordítva is használhatjuk őket a faktorizáláshoz. Hiszen nem mindig találunk közös többszöröst. Itt jönnek képbe a nevezetes azonosságok. Hármat érdemes fejből is megtanulni:
- (a+b)² = a² + 2ab + b²,
- (a-b)² = a² - 2ab + b²,
- (a+b) (a-b) = a² - b².
A másodfokú egyenletek megoldásához elképesztően hasznos nevezetes azonosságok a középiskolai matematikai tanterv egyik központi témája. Az első azonosság azt jelenti, hogy két tag összegének négyzete egyenlő az első négyzetével plusz az első és második szorzatának kétszeresével plusz a második négyzetével. A második azt mondja ki, hogy két tag különbségének négyzete a következővel egyenlő: az első tag négyzete mínusz az első és második tag szorzatának kétszerese plusz a második tag négyzete. És végül az utolsó azt jelenti, hogy két tag összegének és különbségüknek szorzata egyenlő legyen a következővel: az első négyzete mínusz a második négyzete.
Példa: Hogyan lehet faktorizálni az a² + 6a + 9 kifejezést? Válasz: a² + 6a + 9 = a² + 2a x 3 + 3², tehát a² + 6a + 9 = (a+3)². Hogyan lehet az x² - 81 kifejezést faktorizálni? Olyan x értéket kell keresni, aminek a négyzete 81, tehát x = 9. Ezért a harmadik nevezetes azonosságot használva a következő faktorizációt kapjuk: x² - 81 = (x + 9) (x - 9) . A faktorizációnak köszönhetően meg tudsz oldani olyan egyenleteket, amikben egész számok, valós számok, törtek és négyzetgyökük szerepelnek. Most, hogy ez már jól megy, bonyolítsuk kicsit a dolgot! Lássuk, hogyan lehet egy másodfokú polinomot faktorizálni.
Matek óra: másodfokú polinom faktorizációja
A másodfokú polinom faktorizációja ismerős lehet számodra a gimis matekórákról. A faktorizáció ebben az esetben a másodfokú algebrai kifejezés elsőfokú polinomok szorzatává alakítását jelenti. Legyen a, b és c három valós szám, ahol a ≠ 0, és ∆ az ax2 + bx + c polinom diszkriminánsa. Ha szeretnéd megtudni, mi az a diszkrimináns, nézd meg ezt a remek Youtube videót. Érdemes Peti többi videóját is átböngészni, ha az algebra mesterévé szeretnél válni. Ha x1 és x2 egy ax² + bx + c másodfokú polinom gyökei, akkor a (x-x1) (x-x2) alakban faktorizálhatók. Ha x0 az ax² + bx + c másodfokú polinom egyetlen gyöke, akkor a (x-x0)² alakban faktorizálhatjuk. Az a (x-x0)² = a(x-x0)(x-x0) szorzatban úgy tekintjük, hogy x0 kettős gyök.
A következő tételt alkalmazhatjuk rá:
• Ha ∆ = 0, az ax2 + bx + c polinomnak egyetlen valós kettős gyöke van, amit x(0) = - (b/2a) jelöl, és minden valós x esetén ax2 + bx + c = a (x - x0) )² .
• Ha ∆ < 0, az ax2 + bx + c polinom nem faktorizálható ℝ-be,
• Ha ∆ > 0, akkor az ax2 + bx + c polinomnak 2 különböző valós gyöke van, amik (x1) = (-b - √∆)/2a és (x2) = (-b + √∆)/2a és, minden valós x esetén ax² + bx + c = a (x-x1) (x-x2). Ha c = 0, akkor az ax² + bx + c kifejezés faktorizált alakja x (ax + b) lesz. Nagyon jól jöhet egy online matekóra, ha szeretnéd a tudásodat fejleszteni, faktorizációs feladatokat végezni, és jobban megértheti középiskolás tananyagot, hogy elkerüld a buktatókat, és jobban elmélyedj a matematika szépségében. Ha tovább szeretnéd bővíteni az ismereteidet, fedezd fel meg a törtek faktorizációját és a számológépén! Végül a faktorizáció lehetővé teszi az algoritmusuk írását, a kifejezések csoportosítását az eredmény könnyebb megtalálása érdekében, feltéve, hogy nem tévedsz el a zárójelek útvesztőjében! Ha elveszettnek érzed magad a számítások, egyszerűsítések vagy akár algebrai műveletek, ne habozz, hívj segítségül egy matek magántanárt!
A Superprofos tanárod segíthet megtanulni, hogyan oldj meg egy egyenlőtlenséget, hogyan használd a megfelelő képletett, és hogyan ismerd fel a nevezetes azonosságokat. A személyre szabott gyakorlatok segítségével tanulhatsz a hibáidból, és felébresztheted a benned szunnyadó matematikust! Itt az ideje, hogy megcsillogtasd a tehetségedet, a hasznodra fordítsd az egyenleteket, és a legjobb legyél matekból! Készen állsz arra, hogy szintet lépjél matekból?
A platform , amely összeköti a magántanárokat és a tanulni vágyókat
Tetszett ez a cikk? Értékeld!
Loading...