Ha valaki nem hiszi, hogy a matematika egyszerű, az azért van, mert még nem jött rá, hogy milyen bonyolult az élet. Neumann János

A középiskolások hamar szembesülnek a matematika tanterv egyik központi témájával, a faktorizációval, ami megkönnyíti az összeadások és kivonások kiszámítását, valamint bizonyos egyenletek feloldását. A Központi Statisztikai Hivatal adatai szerint Magyarországon 1,8 millió fiatal vett részt az oktatás különböző szintjeiben a 2021/2022-es tanévben, ebből 511 ezren a középfokú oktatási intézményekben tanultak. A tanulók azonban néha nehézségekbe ütköznek az algebrai kifejezésekkel kapcsolatban, és a számítások egyszerűsítésével. Ebben a cikkben átismételjük veled az algebrai kifejezések faktorizációjának különböző módszereit!

Szeretnéd megismerni a halmazok titkait?

A legjobb Matek tanárok elérhetőek
Dávid
5
5 (9 vélemény)
Dávid
2500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Armand
5
5 (6 vélemény)
Armand
3500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
István
5
5 (7 vélemény)
István
4000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Zsuzsi
5
5 (6 vélemény)
Zsuzsi
4000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Bettina
5
5 (7 vélemény)
Bettina
3500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Ákos
5
5 (6 vélemény)
Ákos
4000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Dénes
5
5 (4 vélemény)
Dénes
3000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Máté
5
5 (5 vélemény)
Máté
3500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Dávid
5
5 (9 vélemény)
Dávid
2500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Armand
5
5 (6 vélemény)
Armand
3500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
István
5
5 (7 vélemény)
István
4000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Zsuzsi
5
5 (6 vélemény)
Zsuzsi
4000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Bettina
5
5 (7 vélemény)
Bettina
3500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Ákos
5
5 (6 vélemény)
Ákos
4000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Dénes
5
5 (4 vélemény)
Dénes
3000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Máté
5
5 (5 vélemény)
Máté
3500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Gyerünk!

Bevezetés: mi is a faktorizáció?

A matek órán egy algebrai kifejezés faktorizációja azt jelenti, hogy két vagy több tényező szorzatává alakítjuk. Ez arra szolgál, hogy egyszerűsítsük a kifejezést, és ezzel egyszerűbbé tegyük a számításokat is. A fejszámolásban például gyakori, hogy a faktorizációt hasonló kifejezések csoportosításával hajtjuk végre: egyrészt azonosítjuk a közös tényezőket, majd elvégezzük a két hasonló tag összeadását. Vegyünk például egy egyszerű műveletet, például 200 x 25 + 425 x 25. Az eredmény kiszámításához a következőképpen egyszerűsítjük a számítást:

  • 200 x 25 + 425 x 25,
  • = 25 x (200+425),
  • = 25 x 625,
  • = 15 625.

Ebben az esetben a 25 lesz a szorzásoknak a közös tényezője. Nem kell mást tenned, mint összeadni a másik két tagot, és egy közös szorzót, jelen esetben a 25-öt alkalmazni, hogy megkapjuk az egyenlet felbontását. Tegyük fel, hogy ki akarjuk számolni két kör közös felületét. Az egyik kör sugara 25 cm, a másiké pedig 15 cm. Az algebrai számítások sikeréhez meg kell keresnünk a különbséget e két kör területe között: T = (π x R²) - (π x R²) = (π x 25²) - (π x 15²). (π x 25²) - (π x 15²) azt jelenti, hogy először a két szorzatot négyzetét kell kiszámolnunk, majd meg kell szoroznunk egy hozzávetőleges π értékkel (3,14), hogy végül elvégezzük a két terület közötti kivonást. Legyen: A = π x (25² - 15²). A nevezetes azonosságoknak köszönhetően tudjuk, hogy két négyzet közötti különbség a következő formában jelentkezik:

  • a² - b² = (a - b) (a + b),
  • A = π (25 - 15) x (25 + 15),
  • = π x 10 x 40,
  • = π x 400, az az 400 π.

Ha π hozzávetőleges értéke 3,14, akkor a példában a két kör közötti területe 400 π, vagyis körülbelül 1256 cm². Ezenkívül az algebrai kifejezések szorzatra bontását széles körben használják elsőfokú egyenletek megoldására.

Hogyan hozz létre lenyűgöző geometriai mintákat?

emc2
Az egyenlet megoldása néha az orrunk előtt van.

Hogyan lehet faktorizálni egy algebrai kifejezést?

Mint mindig a matekban, amikor számításokat szeretnél megoldani, műveleteket kibontani vagy átalakítani egy szorzatot, először ismerned kell az algebra szabályait.Ahhoz, hogy egy kifejezést faktorok szorzatává alakítsuk, először meg kell találnunk a közös tényezőt. Meg kell keresnünk azt a közös tagot, ami lehetővé teszi, hogy az első tagot megszorozzuk a másodikkal: 4x+20 például egyenlő 2 x (2x + 10). A faktorálás tehát azt jelenti, hogy meg kell tanulnod azonosítani a közös szorzókat és kibontani a kifejezést. A matekórán a faktorizációhoz két módszert fogunk használni:

• A szorzattá alakítás,

• Nevezetes azonosság

Kérdéseid vannak algebrából?

Ha meg akarjuk ismerni az f(x) = 0 egyenlet eredményét, akkor emlékeznünk kell, hogy egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha az egyik szorzó nulla. Ha f(x) = 0 felírható y(x) x (g(x) = 0 alakban, akkor elegendő megtalálnunk azokat a körülményeket, amiben y(x) = 0 vagy g(x) = 0 Íme egy  másik példa: Képzeljük el, hogy az év végi témazáróban a következő algebrai egyenletet kell megoldanod: 4x² = 64. Az egyenlet megoldása nem egyszerű. Az egyik megoldás, hogy az x-et 1-re, 2-re, majd 3-ra cseréljük, amíg meg nem találjuk azt az x értéket, amivel működik a 4x² = 64 egyenlet. De ha az egyenletet átalakítjuk, akkor sokkal könnyebb lesz megoldanunk. A 4x²=64 egyenletből 4x²- 64 = 0 lesz. Itt az f(x) algebrai kifejezés 4x² - 64. Ha f(x) egyenlő 0-val, akkor a 4x² - 64 különbsége is nulla. Ebben felismerhetünk egy nevezetes azonosságot, két négyzet különbségét. A kifejezést a következő módon alakíthatjuk át: (2x - 8) (2x +8) = 0.

Hogyan számold ki a meridiánt?

Ahhoz, hogy az egyenlőség igaz legyen, akkor elegendő, ha 2x - 8 = 0 vagy 2x + 8 = 0. De 2x - 8 = 0 megoldása 8/2, azaz 4, 2x + 8 pedig -4. A 4x² = 64 egyenletnek tehát két megoldása van: [-4; 4]. Óvatosnak kell lenned a másodfokú vagy elsőfokú egyenletek megoldásánál az előjelek miatt. Egyszerűsítés után egy pozitív előjelű tag átlépése az egyenlőségjel másik oldalán negatívvá teszi azt, és fordítva. Légy azzal is óvatos, hogy a polinomok írásánál zárójelet kell tenned. Ha kibontod a zárójeleket, akkor megváltozhat a műveletek sorrendje. Végül mindig ellenőrizned kell az eredményeket, hogy megbizonyosodj arról, hogy a matematikai érvelés nem vezetett-e félre. Bosszantó lehet, ha figyelmetlenség miatt értékes pontokat vesztesz a matek érettségin egy rossz előjel miatt. Ha például az jön ki eredménynek, hogy x = 2 a 2x + 4 = 0 esetén

Minden, amit a matekról tudni akarsz

tábla
A nevezetes azonosságokat érdemes fejből megtanulnod.
A legjobb Matek tanárok elérhetőek
Dávid
5
5 (9 vélemény)
Dávid
2500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Armand
5
5 (6 vélemény)
Armand
3500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
István
5
5 (7 vélemény)
István
4000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Zsuzsi
5
5 (6 vélemény)
Zsuzsi
4000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Bettina
5
5 (7 vélemény)
Bettina
3500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Ákos
5
5 (6 vélemény)
Ákos
4000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Dénes
5
5 (4 vélemény)
Dénes
3000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Máté
5
5 (5 vélemény)
Máté
3500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Dávid
5
5 (9 vélemény)
Dávid
2500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Armand
5
5 (6 vélemény)
Armand
3500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
István
5
5 (7 vélemény)
István
4000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Zsuzsi
5
5 (6 vélemény)
Zsuzsi
4000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Bettina
5
5 (7 vélemény)
Bettina
3500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Ákos
5
5 (6 vélemény)
Ákos
4000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Dénes
5
5 (4 vélemény)
Dénes
3000Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Máté
5
5 (5 vélemény)
Máté
3500Ft
/óra
Gift icon
1. óra ingyenes!
Gyerünk!

Több közös tényező faktorizációja

Ha a közös tényező egyetlen tagból áll, a művelet viszonylag egyszerű.De mi történik, ha a közös tényező két tagból áll? Íme egy rövid faktorálási gyakorlat: Határozd meg a közös tényezőt, majd faktoráld a következő kifejezést: (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3). A kifejezés az (ax + ...) + (ax + ...) alakot veszi fel. Itt a közös tényező az (x + 3), két taggal. A faktorizációhoz a kifejezést ugyanazzal az eljárással bővítjük és osztjuk, mint egy tag esetében (2x + 4 = x(x+2)), de további zárójeleket kell beszúrnunk a zárójelek közé a kifejezések megfelelő elkülönítése érdekében. Íme az eredmény:

  • A közös tényező a (x + 3),
  • A kiemelés szabályát alkalmazzuk, de közben odafigyelünk a műveleti sorrendre,
  • A = (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3),
  • A = (x + 3) [(2x – 1) – (4x – 5)],
  • A = (x + 3) (2x – 1 – 4x + 5),
  • A = (x + 3) (– 2x + 4).

Ahhoz, hogy A egyenlő legyen 0-val, a következő állításoknak kell igaznak lenniük: (x + 3) = 0 vagy (-2x + 4) = 0. Ezért két megoldásunk van: x = -3 vagy x = 2.

Barkácsolnál? Készíts papírkúpot!

Nevezetes azonosságok és a faktorizáció

A nevezetes azonosságokat akkor alkalmazzuk, ha az algebrai kifejezésben nem azonosítható közös tényező. Nevezetes azonosságokat használunk ahhoz, hogy a számtani kifejezéseket kibontsuk. De fordítva is használhatjuk őket a faktorizáláshoz. Hiszen nem mindig találunk közös többszöröst. Itt jönnek képbe a nevezetes azonosságok. Hármat érdemes fejből is megtanulni:

  • (a+b)² = a² + 2ab + b²,
  • (a-b)² = a² - 2ab + b²,
  • (a+b) (a-b) = a² - b².

A másodfokú egyenletek megoldásához elképesztően hasznos nevezetes azonosságok a középiskolai matematikai tanterv egyik központi témája. Az első azonosság azt jelenti, hogy két tag összegének négyzete egyenlő az első négyzetével plusz az első és második szorzatának kétszeresével plusz a második négyzetével. A második azt mondja ki, hogy két tag különbségének négyzete a következővel egyenlő: az első tag négyzete mínusz az első és második tag szorzatának kétszerese plusz a második tag négyzete. És végül az utolsó azt jelenti, hogy két tag összegének és különbségüknek szorzata egyenlő legyen a következővel: az első négyzete mínusz a második négyzete.

algebra
A könyvek sokat segíthetnek, de a siker kulcsa a gyakorlás.

Példa: Hogyan lehet faktorizálni az a² + 6a + 9 kifejezést? Válasz: a² + 6a + 9 = a² + 2a x 3 + 3², tehát a² + 6a + 9 = (a+3)².  Hogyan lehet az x² - 81 kifejezést faktorizálni? Olyan x értéket kell keresni, aminek a négyzete 81, tehát x = 9. Ezért a harmadik nevezetes azonosságot használva a következő faktorizációt kapjuk: x² - 81 = (x + 9) (x - 9) . A faktorizációnak köszönhetően meg tudsz oldani olyan egyenleteket, amikben egész számok, valós számok, törtek és négyzetgyökük szerepelnek. Most, hogy ez már jól megy, bonyolítsuk kicsit a dolgot! Lássuk, hogyan lehet egy másodfokú polinomot faktorizálni. 

Matek óra: másodfokú polinom faktorizációja

A másodfokú polinom faktorizációja ismerős lehet számodra a gimis matekórákról. A faktorizáció ebben az esetben a másodfokú algebrai kifejezés elsőfokú polinomok szorzatává alakítását jelenti. Legyen a, b és c három valós szám, ahol a ≠ 0, és ∆ az ax2 + bx + c polinom diszkriminánsa. Ha szeretnéd megtudni, mi az a diszkrimináns, nézd meg ezt a remek Youtube videót. Érdemes Peti többi videóját is átböngészni, ha az algebra mesterévé szeretnél válni. Ha x1 és x2 egy ax² + bx + c másodfokú polinom gyökei, akkor a (x-x1) (x-x2) alakban faktorizálhatók. Ha x0 az ax² + bx + c másodfokú polinom egyetlen gyöke, akkor a (x-x0)² alakban faktorizálhatjuk. Az a (x-x0)² = a(x-x0)(x-x0) szorzatban úgy tekintjük, hogy x0 kettős gyök.

A következő tételt alkalmazhatjuk rá:

• Ha ∆ = 0, az ax2 + bx + c polinomnak egyetlen valós kettős gyöke van, amit x(0) = - (b/2a) jelöl, és minden valós x esetén ax2 + bx + c = a (x - x0) )² .

• Ha ∆ < 0, az ax2 + bx + c polinom nem faktorizálható ℝ-be,

• Ha ∆ > 0, akkor az ax2 + bx + c polinomnak 2 különböző valós gyöke van, amik (x1) = (-b - √∆)/2a és (x2) = (-b + √∆)/2a és, minden valós x esetén ax² + bx + c = a (x-x1) (x-x2). Ha c = 0, akkor az ax² + bx + c kifejezés faktorizált alakja x (ax + b) lesz. Nagyon jól jöhet egy online matekóra, ha szeretnéd a tudásodat fejleszteni, faktorizációs feladatokat végezni, és jobban megértheti középiskolás tananyagot, hogy elkerüld a buktatókat, és jobban elmélyedj a matematika szépségében. Ha tovább szeretnéd bővíteni az ismereteidet, fedezd fel meg a törtek faktorizációját és a számológépén! Végül a faktorizáció lehetővé teszi az algoritmusuk írását, a kifejezések csoportosítását az eredmény könnyebb megtalálása érdekében, feltéve, hogy nem tévedsz el a zárójelek útvesztőjében! Ha elveszettnek érzed magad a számítások, egyszerűsítések vagy akár algebrai műveletek, ne habozz, hívj segítségül egy matek magántanárt!

A Superprofos tanárod segíthet megtanulni, hogyan oldj meg egy egyenlőtlenséget, hogyan használd a megfelelő képletett, és hogyan ismerd fel a nevezetes azonosságokat. A személyre szabott gyakorlatok segítségével tanulhatsz a hibáidból, és felébresztheted a benned szunnyadó matematikust! Itt az ideje, hogy megcsillogtasd a tehetségedet, a hasznodra fordítsd az egyenleteket, és a legjobb legyél matekból! Készen állsz arra, hogy szintet lépjél matekból?

 

>

A platform , amely összeköti a magántanárokat és a tanulni vágyókat

Első óra ingyenes

Tetszett ez a cikk? Értékeld!

5,00 (1 rating(s))
Loading...

Fanni

Szenvedélyem a nyelvtanulás és a zene, de mindig készen állok új dolgokat felfedezni. Futás, jóga, kirándulás – bármi jöhet, ami izgalmas és tágítja a látóköröm.