Fejezetek
Végeredményben a matematika sem egyéb, mint a realitástól megfosztott, de szabályokkal bizonyos mértékig korlátozott szabad akciótér.
Csányi Vilmos
A felső tagozatos matematika órán a diákok megtanulják a statisztika és a geometria alapjait, beleértve az átlag és a medián kiszámítását. A gyakran félreértett medián a valószínűségi számítás, a geometriai bizonyítások és a statisztikai elemzések központi eleme. Ezért fontos, hogy már a lehető legkorábban pontosan megértsd az alapvető fogalmakat. Ezért a matematika korrepetálás és magánórák még soha nem voltak olyan meghatározóak az egyes tanulók tanulmányi sikerében, mint az elmúlt években. A Superprof blogja most egy matematikatanár szerepébe bújik, hogy elmagyarázza neked, hogyan kell megtalálni, és értelmezni a mediánt!
Minden, amit a matekról tudni akarsz és az algoritmusokról.
Mi a medián a matematikában?
Mielőtt a számítások és képletek hosszú sorába kezdenénk, meg kell értenünk, hogy miről beszélünk. A matematika órán, legyen az iskolai vagy online magánóra, a medián egy olyan értéket jelöl, ami lehetővé teszi egy adatcsoport két egyenlő részre való szétválasztását. Egy sorozat mediánjának számítását széles körben alkalmazzák a statisztikában, mert sokkal kifinomultabb elemzést tesz lehetővé, mint az átlagé. Röviden összefoglalva, a medián egy statisztikai sorozat központi értékét jelenti.
Ennek az értéknek az azonosításához az összes adatot a legkisebb értéktől a legnagyobbig sorba kell rendeznünk. Amint megkapjuk ezt a növekvő sorrendbe rendezett listát, könnyen megtalálhatjuk azt az értéket, ami a vizsgált halmazt azonos számok két részhalmazára osztja.
Vegyük egy úszóedző példáját, aki két különböző úszásszintű tanulócsoportot szeretne felkészíteni. Tegyük fel, hogy 9 úszótanoncot kér fel két hossz teljesítésére gyorsúszásban, majd rögzíti az elért pályaidőket:
Ennek az értéksornak a rendezett listája a következő: 29,1; 30,0; 30,6; 31,7; 32,9; 33,9; 35,1; 35,5; 36.4. A medián idő így 32,9. Ez lehetővé teszi a teljesítmények két ugyanannyi elemet tartalmazó kategóriába való besorolását: egyik oldalon ott van a négy legkevésbé jó úszó, a másik oldalon a négy legjobb úszó. Mi történik, ha egy újabb diák csatlakozik az osztályhoz? Tegyük fel, hogy a tízedik úszó 28,7 másodperc alatt teljesíti a két hosszt. Ennek eredményeként nő a halmaz elemeinek száma, a diákok száma páros (10) lesz. A halmaz „közepének” ekkor két értéke van: 31,7 és 32,9. A medián kiszámításához a minta közepén lévő két szám átlagát kell megtalálnunk: (31,7 + 32,9) / 2 = 32,3.
Következtetés:
• Ha az elemek száma páratlan, a medián a sorozat középen elhelyezkedő értéke,
• Ha a csoport páros értéket tartalmaz, akkor a medián a sorozat két központi értékének átlaga. Elég egyszerű, igaz? Fedezd fel, hogyan készíthetsz papírkúpot!
Keresd meg a mediánt egy diszkrét statisztikai sorozatban, ha a statisztikában egy változó akkor diszkrét, ha meghatározott számú valós értéket tartalmaz. Helyesek a számításaim! Juhé!Például, mit tegyünk, ha egy osztály húsz pontos matekdolgozaton elért eredményeit szeretnénk sorba rendezni? Tegyük fel, hogy a pontszámok megoszlása a következő: 5, 12, 11, 10, 6, 17, 11, 12, 10, 13, 9, 11, 12, 8, 7, 10, 11, 10, 12, 11, 9, 10, 8, 11.Rendezd az értékeket növekvő számtani sorozatba! A matematika órán a mediánérték megállapításának módszere mindenekelőtt abból áll, hogy a sorozat értékeit növekvő sorrendbe rendezzük, egy másik sorozatba pedig összegyűjtjük, hogy hány diák szerezte meg az adott pontszámot.
Ennek eredményeképp ilyen sorozatot kapunk:
• 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17, a pontszámok növekvő sorrendbe rendezett sorozata,
• 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6, 4, 1, 1, itt van azoknak a tanulóknak a száma, akik megszerezték a fent említett jegyet. Öt diák 10-et, egy diák 17-et, négy diák 12-t, és így tovább. Az alacsonyabb értékek frekvenciáit összeadva kapjuk az úgynevezett növekvő kumulatív frekvenciákat. Hasznosak egy értékkategória számainak ismeretében. Például 12 tanuló 10-nél alacsonyabb pontszámot kapott. A növekvő kumulatív gyakoriságok kiszámítása bizonyos esetekben lehetővé teszi az eredmények százalékos megjelenítését: különösen hasznos az egyes számok arányának ábrázolása a teljes mintához viszonyítva. Ha a szám páratlan, a medián az (N+1)/2. érték. Például az 1, 2, 3, 4, 5 sorban öt elem van. 5+1 = 6, osztva 2-vel az 3. Tehát a medián a harmadik érték.Ha N páros szám, akkor a sorozatot két egyenlő részre bontó medián az (N/2) és (N+1)/2. értékek átlaga. Ha a matekdolgozatos példára gondolunk, akkor ott 24 elemünk van, így a 12. és 13. érték közötti átlagot kell vennünk, ami Me = 10,5.
Számítsd ki egy folytonos statisztikai sorozat mediánját! Gyakran előfordul az is, hogy egy sorozatban végtelen számú vagy megszámlálhatatlanul sok elem van. Ebben az esetben egy intervallumból álló végtelen értékekkel állunk szemben. Vegyük például a hőmérséklet. A hőmérséklet egy folytonos intervallumú mennyiségi változó, aminek végtelen sok értéke lehet: 30°C és 31°C között lehet 30,1°C, 30,5°C, de 30,99999°C vagy 30,00001°C és így tovább. Az első lépés a növekvő kumulatív gyakoriságok görbéjének megrajzolása, a sorozat mediánjának és kvartiliseinek azonosítása. A kvartilisek azok az adatokból számolt értékek, amik egy adatot négy egyenlő részre osztanak. Például, ha azt szeretnénk mérni, hogy mekkora arányban keresnek havi 100 000 és 450 000 forint között. Tegyük fel, hogy a következő jövedelem eloszlásunk van:
• 40 ember 100 000 és 150 000 HUF között keres havonta,
• 31-nek 150 000 és 200 000 HUF között van,
• 25-nek 200 000 és 250 00 HUF között van,
• 52 dolgozó személy havi 250 000 és 300 000 HUF közötti összeget kap,
• 37 ember 300 000 és 350 00 HUF közötti,
• 18-nak 350 000 és 400 000 HUF között van,• 27 fő keres 400 000 és 450 000 HUF között. Az elemek száma 230.
A nevezetes azonosságok és szorzattá bontás praktikái
Ebből kikövetkeztetjük a frekvenciákat és a növekvő kumulatív frekvenciákat. Ezután ábrázold a növekvő kumulatív frekvenciák görbéjét, amiről grafikusan leolvashatjuk a mediánt anélkül, hogy képletekkel számításokat végignéznénk. Ezért a grafikonról azt olvashatjuk le, hogy mintánk mediánja olyan 225 000 körül van. A 25%-os és 75%-os szinten elhelyezkedő kvartilisek tehát 9,7 és 17 értékkel rendelkeznek.
Leolvasás: a sorozatban szereplő értékek 25%-a kisebb vagy egyenlő, mint 9,7. És az értékek 75%-a kisebb vagy egyenlő, mint 17. Ebből arra következtetünk, hogy a sorozat értékeinek 25%-a 17 és 21 között van. Példánkban a medián értelmezése tehát a következő lenne: A minta vagyonának 25%-a havi 125 000 forintnál kisebb vagy azzal egyenlő jövedelemmel rendelkezik, és az emberek 75%-a 325 000 forintnál kevesebbet kap. Lineáris interpolációval azt látjuk, hogy a minta 25%-a 325 000 és 450 000 forint között keres havonta. Elszórakozhatsz egyébként azzal is, hogy deciliseket és percentiliseket számolsz, hogy kiszámold a népesség egy adott szeletére vonatkozó jövedelem szórását. Ismerd meg a geometria titkait.
A súlyvonal kiszámítása a geometriában
A geometriában is széles körben használják a mediánt, különösen a háromszög geometriai ábrázolásainál, de ebben az esetben súlyvonalnak hívják. A háromszögeknek nincs több titka számodra!A geometria tanterv egyik legfontosabb eleme, a háromszög súlyvonala azonban néha nehezen érthető a tinédzserek számára.
Háromszögekről beszélve a súlyvonal az az egyenes, amely átmegy a felezőpontján és a szakasz szemközti csúcson.
Így egy ABC háromszögben az A csúcsból induló súlyvonal az (AI), ahol I az [AB] szakasz felezőpontja. Ezért az [AI] és [IB] szakaszok azonos hosszúak. Az ABI háromszög területe megegyezik az ACI háromszög területével. Ez lehetővé teszi a geometria egyik központi témájának, a súlyvonal tételnek a megközelítését. Ez kimondja, hogy ha [BC]-t középen az I pont elfelezi.
Egy másik szabály: egy háromszög három súlyvonala a súlypontban metszi egymást. A súlypont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja.Ebből az is következik, hogy egy egyenlő szárú háromszögben a súlyvonal a háromszög szimmetriatengelye is: ha egy háromszögben két súlyvonal egyforma hosszú, akkor a háromszög egyenlő szárú. Egy derékszögű háromszögben viszont a súlyvonal a háromszög derékszögével ellentétes csúcsból indul, és az átfogót felezi (igen igen, az átfogó a Pitagorasz-tételben a híres négyzetre emelendő szakasz!). Ha megfordítjuk a tételt, akkor elmondhatjuk, hogy ha egy háromszögben a súlyvonal hossza megegyezik a megfelelő oldal hosszának felével, akkor a háromszög derékszögű.
Ne keverd össze az átlagot a mediánnal
Ügyelj arra, hogy ne kövesd el azt a gyakori hibát, hogy összekevered a mediánt és az átlagot! Míg egy sorozat szélső értékei befolyásolják az átlag kiszámítását, ezeknek nincs hatása a mediánra. A számtani átlag a számértékeket egyetlen valós számba foglalja össze, úgy számítják ki, hogy az elemek összegét elosztják az elemek számával. Ezzel szemben az elemek értékének nincs hatása a mediánra, mivel a meridián számításnál csak a rendezett sorozatban való helyzet számít. Emellett a meridián ideális mutató a statisztikai változók elemzéséhez, sokkal finomabb elemzéseket kínál, mint az egyszerű átlagszámítás. Egy kis kitérő a világgazdaságon keresztül, hogy megértsük: Franciaországban például az átlagkereset bruttó 39 346 euró volt évente 2019-ben, vagyis 3 278 euró havonta. Az átlagfizetés körül kapott statisztikák azonban mély jövedelmi egyenlőtlenségeket takarnak el. A nagyon magas jövedelmek (milliomosok és milliárdosok) automatikusan növelik az átlagot, miközben a francia munkaképes lakosság 50%-a jelenleg kevesebb, mint évi 20 000 euróból, azaz havi 1666 euróból él.
Ismerkedj meg az osztás rejtelmeivel!
A franciaországi 1789 eurós medián fizetés sokkal közelebb áll az alsó 50%-os jövedelméhez. Ez az oka annak, hogy a kvartiliseket (25% és 75%), valamint a mediánt is figyelembe kell venni, hogy a vizsgált értékeken finomabb statisztikai analízist lehessen végezni. Amint azt bizonyára megértetted, a matematika és a leíró statisztikák iránti érdeklődés lehetővé teszi számtalan probléma megoldását a mindennapi életében! Szóval, érzed, hogy feléled a matek iránti szenvedélyed?
A platform , amely összeköti a magántanárokat és a tanulni vágyókat
Tetszett ez a cikk? Értékeld!
Loading...