Fejezetek
A politika a jelenre vonatkozik, de az egyenlet egy örökkévalóságra szól.
Albert Einstein
Úgy döntöttél, hogy magán matekórákat veszel, hogy javítsd a szinted? A matek kétségtelenül az egyik legkeresettebb iskolai tantárgy az otthoni magánórák világában. A 2018-os PISA (Programme for International Student Assessment) felmérésében a magyar diákok átlagban 481 pontot értek el, amivel a középmezőnyhöz tartoznak. Míg Kínában 591 volt az átlag pontszám, a legjobban teljesítő európai országnál, Észtországnál 523. Annak érdekében, hogy a legközelebbi felmérésen jobban szerepeljünk, íme egy ki algebrai emlékeztető!
Hogyan számítsuk ki a mediánt?
A medián az egyik fő téma a matematika órák statisztika fejezetének.
Ez a számtani sajátosság végigkíséri majd a felsős és a középiskolai tanulmányaidat. Ez az egyik legkevésbé értett matematikai fogalom a diákok körében, mert gyakran összekeverik az átlaggal vagy az intervallumok kiszámításával. Pedig a mediánszámítás nagyon jól jön majd a geometria, a valószínűség számítás és az algebra világában is. A medián egy olyan érték, ami lehetővé teszi, hogy egy statisztikai sorozatot két egyenlő részre osszanak, így az adatokat a legkisebb értéktől a legnagyobbig rendezhetőek. Tehát a medián az a középső érték, ami az adatsort két részre osztja. A medián kiszámításához tehát a minta (a megfigyelt adatok) értékeit növekvő sorrendbe kell rendezni. A rendezett listában tehát az értékek 50%-a alacsonyabb, mint a medián, és 50%-a magasabb, mint ugyanez a medián.
Az elmélet a következő:
• Ha az elemek száma páratlan, a medián a sorozat középső értéke,
• Ha a csoport páros értéket tartalmaz, akkor a medián a sorozat két középső értékének átlaga. Például, ha meg akarjuk tudni egy futballcsapat 11 játékosának medián magasságát, először minden játékos (cm-ben megadott) magasságát sorba rendezzük.
Tegyük fel, hogy a következő eredményeket kapjuk: 168, 170, 172, 175, 177, 178, 180, 182, 183, 185, 190. Itt egy futballista medián magassága 178 cm. Ha a 168 cm-es játékos megsérül a pályán, és a mintánk mindössze 10 (tehát páros) játékosból áll, így a sorozat közepén található két érték átlagát kell kiszámítanunk, azaz (178 + 180) /2 = 179. A medián egyértelműen ábrázolja a sorozat középértékét: példánkban a játékosok 50%-a 1,78 méternél alacsonyabb, míg a játékosok másik fele 1,78 méternél magasabb. Megfontoltabb lehet a mediánt előnyben részesíteni az átlaggal szemben, ha minta nagyon nagy változatossággal rendelkezik. Ez különösen igaz lehet például, ha a magyarországi bérelosztást vesszük figyelembe: egyesek havi 100 000 forintból élnek, míg a leggazdagabbak több millióból.
Ennek eredményeként az átlagbér mély egyenlőtlenségeket rejt, és nem mutatja be helyesen a legtöbb dolgozó ember jövedelmét. Egy statisztikai sorozat (különálló elemekből álló sorozat vagy folytonos sorozat, ahol egy intervallumon belül végtelen számú potenciális értékkel állunk szemben) a medián kiszámításához a következő módszert alkalmazzuk:
• Rendezd sorba a sorozat értékeit.• Készíts táblázatot a növekvő számokról,
• Keresd meg a mediánt, ahol Me = az (N/2)-edik érték és az (N+1)/2-edik érték közötti átlag. Alternatív megoldásként megrajzolhatod a növekvő kumulatív gyakoriságok görbéjét is, hogy grafikusan azonosítsd, hol helyezkedik el a medián anélkül, hogy át kellene nézned a számítási táblázatokat. A medián tehát nagyon hasznos a számtanban, de geometriában is; akár alkalmazott geometriában, akár térbeli geometriában szeretnéd kamatoztatni a tudásodat. Fel tudod használni papírkúp készítéséhez, origamizáshoz, vagy akár a fürdőszobád csempézéséhez.
Hogyan legyél jobb algebrából?
Felső tagozatban hetediktől kezdve egyre fontosabb szerepet kap az algebra, különösen az algebrai kifejezések és azok kiszámítása.Az algebrai művelet azt jelenti, hogy a különböző faktorok szorzatát (vagy egyszerű szorzást) összeggé vagy különbözetté alakítjuk a számítások egyszerűsítése érdekében. Ez például a következőképp néz ki: n x (a + b) = n x a + k x b. Az algebrai kifejezések használata leegyszerűsíti a műveleteket, mivel együtt bővítjük, egyszerűsítjük az azonos értékű kifejezéseket. Ezért egymás után összeadhatjuk az x², az x és az egész (vagy valós) számokat. Például a fenti egyenlet a gyakorlatban így néz ki: 10 x 25 = 10 x (20 + 5) = 10 x 20 + 10 x 5 = 200 + 50 = 250. Az algebrai kifejezések kibontásához és egy egyenlet eredményének megtalálásához az első fokú polinomokkal (azaz többtagú algebrai kifejezésekkel) két módszert alkalmazunk:
• A szorzás egyszerűsítése,
• Szorzattá alakítás
A tagolhatóság lehetővé teszi a zárójelek eltávolítását, hogy egyszerűsített írást, összeget vagy különbséget kapjunk a művelet során. A tagolhatósági tétel szerint egy műveletet, ami különböző együtthatók és változók szorzatából áll, átalakítható a következő formában: a (b + c) = (a x b) + (a x c). Másodfokú polinomokból álló egyenletek megoldásához (több együtthatóval és különösen a négyzetfüggvénnyel: f(x) = (x - 1)(2x + 3) a szorzattá alakítás módszerét kell alkalmazni. A kifejezéseket csoportosítjuk, és a szorzások elvégzése után két kifejezés összegét végezzük el.
• (a + b) (c - d) = ac – ad + bc – bd,
• (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd,
• (a − b) (c + d) = ac + ad – bc − bd,
• (a − b) (c − d) = ac – ad – bc + bd.
A cél az f(x) = (x - 1)(2x + 3) kifejezés kibontott alakjának megtalálása. Ha (a − b) (c + d) = ac + ad – bc − bd, akkor a következőt kapjuk:
• f(x) = (x - 1) (2x + 3),
• = x x 2x + x x 3 - 1 x 2x + (-1 x 3),
• = 2x² + 3x - 2x - 3,• = 2x² + x - 3.
Csak meg kell találnod a megfelelő képletet a matematika órán tanultak szerint és az adott feladatra alkalmazni. például ha a következő feladatot kapod: „Bontsd ki a (3x + 1) (2x + 4) kifejezést. Az (a + b)(c + d) képletet alkalmazva = ac + ad + bc + bd, a kibontott forma a következő lesz:
• 3x + 1) (2x + 4) = 3x x 2x + 3x x 4 + 2x + 4,
• = 6x² + 12x + 2x + 4,• = 6x + 14x + 4.
Szeretnéd megismerni a halmazok titkait?
A számítások egyszerűsítéséhez és a matematikai gyakorlatok sikeres elvégzéséhez ismerned és alkalmaznod kell a nevezetes azonosságokat. Ezek nagyon hasznosak a másodfokú egyenletek megoldásához is. Íme a három legismertebb, amit érdemes fejből megtanulni:• (a + b)² = a² + 2ab + b²,• (a - b)² = a² - 2ab + b²,• (a + b) (a - b) = a² - b². Ezután nem kell mást tenned, mint alkalmaznod a képleteket és behelyettesíteni a kifejezéseket, hogy megtaláld az eredményeket! Mielőtt belevágnál az egyenletek megoldásába, ne felejtsd el áttekinteni az alapokat, például a törteket, az oszthatósági szabályokat és a hányados számítást.
A faktorizáció titkai
A faktorizáció azt jelenti, hogy egy matematikai kifejezést vagy számot nála kisebb elemek szorzatára bontunk. Ez az egyik leghasznosabb művelet a matematikában, különösen a fejszámolásban, a geometriában és az algebrában. Az egyik leggyakoribb ehhez kapcsolódó feladat egy szám prímszámokra való felbontása. Szóval hogyan faktorizálunk? Ez a művelet magában foglalja egy közös többszörös megtalálását, amit a kifejezésből izolálhatunk. Például meg kell keresnünk azt a tényezőt, ami lehetővé teszi az első tag megszorzását a másodikkal: 2x + 10 például egyenlő 2 x x + 2 x 5, azaz 2(x+5). A közös szorzó vagy osztó (tényező) azonosítása érdekében egyfajta mentális gimnasztikát végzünk.
A matematikában kétféleképpen lehet faktorizálni:
• Az osztók megtalálásával,
• A nevezetes azonosságok segítségével
Vegyük a 4x² = 64 egyenlet példáját. Az f(x) = 0 eredménye azt jelenti, hogy 4x² - 64 = 0. Itt észrevesszük, hogy a 4 a 2 többszöröse, a 64 pedig a 8 többszöröse, ezért faktorizáljuk a kifejezést (fx) = (2x - 8) (2x + 8). Ez a faktorizált forma megfelel a három nevezetes azonosság egyikének: a² - b² = (a+b) (a-b). A következő lépéshez több közös tényezőt tartalmazó kifejezést kell létrehoznod, például (4x - 1) (x + 6) - (2x - 5) (x + 6). Itt a közös tényező (x+6). Tehát:• (x+6) [(4x - 1) - (2x - 5)],• = (x + 6) (4x - 1 - 2x - 6),• = (x + 6) (2x - 6).
Hogyan oldjuk meg az f(x) = 0 egyenletet matematika órán?
Győződjünk meg arról, hogy vagy (x + 6) = 0, vagy (2x - 6) = 0. Ennek eredményeként az f(x) két megoldást enged meg: x1 = -6 és x = 3. Mindig ellenőrizd az eredményeket, hogy ne kapj teljesen értelmetlen egyenletet, például, hogy az x értéke (x + 1) = 0 esetén 10. A középiskolában a négyzetgyökök, a másodfokú egyenletek, a nevezetes azonosságok, mind az alap tananyag részét képezik. A tanulók nap, mint nap találkozhatnak olyan egyenletekkel, mint az f(x) = ax2 + bx + c. A rendszeres tanulás és a matematikai tételek elsajátítása a középiskolai algebraórák sikerének titka. Ha a középiskola első évében nehézségekbe ütközöl, bölcs dolog lehet matematika magánórákat venni, hogy leküzdhesd az akadályokat.
Ismerkedj meg az osztás rejtelmeivel!
Hogyan írjunk matematikai algoritmust?
A felsősök lehet nem is tudják, de a felsős matekórákon megtanítják nekik az algoritmusok matematikai alapjait. A matek órákon megismerkednek a változók fogalmával, hipotéziseket tesztelnek, és hozzászoknak a gyakorlatok elvégzéséhez, amiket addig kell újra és újra megismételni, amíg el nem érik a megfelelő eredményt. Nagyjából ez az algoritmus definíciója is! Az algoritmus rendezett utasítások sorozata, amiknek az célja, hogy az ismert információk alapján megtalálják a végeredményt. Az algoritmus írásának célja olyan változók létrehozása, amik egy ciklusban ismétlődnek, amíg meg nem találjuk az eredményt.
Ehhez a matematikus egy természetes nyelvet, az anyanyelvét (vagy a számítógépes programozásban az angolt) használja, hogy utasításokat adjon. Ezután ezeket az utasításokat lefordítják a számítógép által értelmezett gépi nyelvre: ez a programozási nyelv (C, C++, PHP, Java, Javascript, Python, HTML vagy CSS stb.), ami lehetővé teszi a program végrehajtását. Az algoritmusok létrehozása sokkal egyszerűbb, mivel az algoritmusokban használt nyelveket „pszeudokódnak” nevezik: félúton vannak az emberi nyelv és a programozási kód között. Tudtad, hogy recept alapján főzni, átkelni az utcán vagy megtanulni egy dalt, olyan, mint egy algoritmus futtatása? Valójában az agy parancsolja a műveletek ismétlését lépésről lépésre, amíg el nem éri a célját: például a „nézz balra”, majd „nézz jobbra”, „tegyél egy lépést, ha nincs akadály”, addig, amíg át nem érsz a szemközti járda. Egy algoritmus írásához szükséges a változók meghatározása.
Ezeknek három különböző formája van:
• Numerikus változók (egy szám),
• Szöveges változók (karakterlánc),
•Boolean típusú változók (George Boole-ról kapta a nevét): „igaz” vagy „hamis” értékkel.Egy algoritmus egy bináris folyamatra (0 vagy 1) a valószínűségi eseményekkel (ha "..." igaz, akkor "...", különben "...") válaszol a megadott utasítások szerint. Az algoritmus létrehozása tehát logikát és rendszerezést igényel! A hipotézisek az algoritmus feldolgozása során változnak: a változó ezért ingadozhatnak.
Ne feledd, hogy a numerikus változók összetett, valós vagy egész számok: az algoritmusok egyfajta dobozban tárolják az információkat, de nem képesek tizedes számokat olvasni. Annak érdekében, hogy a matek órán is tudd ezeket használni, a tanárod megtanítja neked, hogyan kell kezelni az úgynevezett operátorokat:• A +, -, x, ÷ jelek és a hatványjel (numerikus változókhoz),• Az & vagy + jelek (két karakterlánc összefűzéséhez) karakterláncokhoz,• Az "és", "vagy" és "nem" elemek (logikai változók).
A felsősök a következő programokat használhatják:
- Algoblocs,
- Géotortue,
- Robotprog,
- Scratch.
A gimnazistáknak pedig a következőket ajánljuk:
- Algobox,
- BlocksCAD,
- Beetle Blocks,
- Python,
- Scilab,
- Xcas.
A matematika olyan, mint egy algoritmus írása: iteratív (többször ismétlődő) és feltételes (változók tesztelése) ciklusokat használ az eredmény megtalálásához.Ez a cikk még mindig homályosnak tűnik számodra? Ne aggódj! A Superprof segítségével megtalálhatod a tökéletes matek magántanárt, és személyre szabott támogatást kaphatsz! Mindegy mire van szükséged: házi feladat segítségre, emelt szintű gyakorlatokra, dolgozat felkészülésre, a matektanárod melletted lesz, és szórakoztatóvá és érdekessé teszi ezt a tantárgyat a személyre szabott leckéknek köszönhetően. Vedd elő a számológépedet, a matekfüzeted, és ébreszd fel a benned szunnyadó matematikust!
A platform , amely összeköti a magántanárokat és a tanulni vágyókat
Tetszett ez a cikk? Értékeld!
Loading...
