Fejezetek
A matematika nagy része egyetlen okból jött létre: mert érdekes, önmagában érdekes.
Halmos Pál
A PISA-felmérés azt vizsgálja több országban, hogy hogyan teljesítenek a közoktatásban lévő diákok bizonyos tantárgyakból köztük matematikából. Ebben a cikkünkben a legutóbbi felmérés eredményeinek összefoglalóját is megtalálod. Felső osztálytól kezdve a matematika órák egyre bonyolultabbá válnak, a tudáshoz vezető út egyre több buktatóval tarkított, és így előfordulhat, hogy nehézségbe ütközöl az algebra egyik alapelemével, a kifejezések kibontásával kapcsolatban. Szerencsére mi itt vagyunk neked! A Superprof blogja ebben a cikkben egy matektanár bőrébe bújik, hogy elmagyarázza, hogyan lehet kibontani és egyszerűsíteni egy vagy több algebrai kifejezést.
Az elsőfokú polinom kibontása
A matematika óra a középiskolai egyik legfontosabb tantárgya.A tanulók több mint felének azonban alacsony vagy közepes a tanulmányi eredménye a matematika órákon. Az algebrai műveletek kibontása nem feltétlenül egyszerű. És mégis ez az egyik központi téma az iskolai matematikai tantervben, ami az érettségin is visszaköszönhet. Egy kifejezés kibontása annyit tesz, mint összegként vagy kivonásként felírni. Ez azt jelenti, hogy több hasonló tag szorzatát műveletté alakítjuk, így a következő típusú képleteket kapjuk: k x (a + b) = k x a + k x b. Ehhez az algebra két módszerét fogjuk használni, amikkel gyakran találkozhatsz matek órán:
· Szorzat egyszerűsítése,
· Szorzattá alakítás.
A nevezetes azonosságok és szorzattá bontás praktikái
Az összeadás (vagy kivonás) szorzattá alakítása azt jelenti, hogy két tag összegének (vagy különbségének) szorzatát szorzatok összegévé alakítjuk.
Bonyolultan hangzik? Mindjárt mutatunk egy példát!
Lássuk a következő egyenletet:
10 x 25 = 10 x (20 + 5) = 10 x 20 + 10 x 5 = 200 + 50 = 250. Ha 10 x 25 = 10 x (20 + 5), más egyenletek is helyesek: 10 x 25 = 10 x (20 + 5) gyakorlatilag egyenlő 10 x (35 - 10):
• 10 x 25 = 10 x (35 - 10) = 10 x 35 - 10 x 10 = 350 - 100 = 250,
• 10 x 25 = 10 x (27 - 5 + 3) = 10 x 27 - 10 x 5 + 10 x 3 = 270 - 50 + 30 = 250.
A szorzattá alakítás lehetővé teszi a számítások egyszerűsítését, és a fejszámolás sokkal hatékonyabb elvégzését. A módszer lehetővé teszi a zárójelek eltávolítását és az egyszerűsítést is. A tétel a következő: egy műveletet, ami különböző számok és tényezők szorzatából áll faktorizált formában is felírható, ha az a, b vagy c számoktól függetlenül a következőket kapjuk: a (b + c) = (a x b) + (a x c). Bal oldali szorzattá alakításról beszélünk, ha a (b + c) = (a x b) + (a x c). Ezzel szemben jobb oldali szorzattá alakításról beszélünk, ha (a + b) x c = (a x c) + (b x c). Ez a szorzattá alakítási technika lehetővé teszi egy elsőfokú polinom kibontását.
A kettős szorzattá alakítás egy másodfokú polinom kibontásakor
Most látni fogjuk, hogy egy matematikai kifejezés kibontása nem bonyolultabb, ha több másodfokú polinomot is tartalmaz. Ha matek órán másodfokú polinomokból álló egyenleteket kell megoldanod (több együtthatóval és legalább egy négyzetre emelt számmal. Például: f(x) = (x - 1)(2x + 3)) Hogyan vágj bele? Ne aggódj, könnyebb, mint amilyennek látszik. Az f(x) = (x - 1)(2x + 3) függvény kibontásához csoportosítanunk kell a tagokat, és szorzattá kell alakítanunk, majd a műveleteket kibontanunk.
Hogyan számold ki a meridiánt?
Az eljárás a következő: (a + b) x (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d.
Tehát ezt kapjuk:
· (a + b) (c - d) = ac – ad + bc – bd,
· (a − b) (c + d) = ac + ad – bc − bd,·
(a − b) (c − d) = ac – ad – bc + bd.
Ne felejtsd el, hogy nagyon oda kell figyelned a műveleti sorrendre és a zárójelekre!
Például:
- f(x) = (x - 1)(2x + 3),
- = x x 2x + x x 3 - 1 x 2x + (-1 x 3),
- = 2x² + 3x - 2x - 3,
- = 2x² + x - 3.
A kifejezés kibontott formája tehát a következő: f(x) = 2x² + x - 3.
Hogyan bontsuk ki a következő kifejezéseket? :
- f(x1) = (x + 3)(2x + 1) ,
- f(x2) = (5 + x)(3x − 2),
- f(x3) = (6 − 5x)(7 − 4x).
Íme a megoldások! (Próbáld meg őket letakarni, miközben megoldod a feladatot) :
- f(x1) = 2x2 + x + 6x + 3 = 2x² + 7x + 3,
- f(x2) = 15x – 10 + 3x2 − 2x = 3x² + 13x - 10,
- f(x3) = 20x² + 42 − 24x − 35x = 20x² - 59x + 42.
Röviden, a tényezők szorzatának kibontása olyan, mint egy jó kis mentális gimnasztika!
Hogyan csoportosítsuk és egyszerűsítsük az algebrai kifejezéseket?
Egy-két tényező bővítésével vagy dupla kiterjesztésével, vagy még ha van harmadik tényező is, akkor egyetlen ismeretlenhez (x) sok összeadás és kivonás is tartozhat. Ez az oka annak, hogy a matek feladatokban gyakran arra kérnek téged, hogy csoportosítsd, és egyszerűsítsd a kifejezéseket.
Ez különösen a későbbiekben lesz hasznos, ha egy kifejezést egy közös tényezővel szeretnél faktorizálni. Egy kifejezés egyszerűsítése abból áll, hogy megkeressük az azonos természetű tagok algebrai összegét. A csoportosítás a tagok növekvő vagy csökkenő sorrendjében történő írást jelenti. Ez azt jelenti, hogy összerendezed az azonos értékű algebrai műveleteket. Azaz, azonosítjuk és csoportosítjuk az x²-t, az x-et és az ismeretlen nélküli egységeket (azaz a számjegyeket).
Például:
- 2x + 12 + 4x² - 6x + 4x² + 2,
- = 8x² - 4x + 14.
Ha kibontott formába szeretnéd hozni a következő kifejezést, azt így teheted meg: (3x + 1) (2x + 4)
- (3x + 1) (2x + 4) = 3x x 2x + 3x x 4 + 2x + 4,
- = 6x² + 12x + 2x + 4,
- = 6x + 14x + 4.
Ismerd meg az algoritmusok titkait!
Paradoxnak hangozhat, de egy polinom típusú kifejezés (négyzeteket és ismeretlen változókat tartalmazó algebrai kifejezés) kibontását kiterjesztésnek nevezzük: ez lehetővé teszi, hogy faktorok összegeként fejezzük ki. Így bár az algebrai kifejezést hosszabbá válik, lehetővé teszi a számítások egyszerűsítését. Ebben az utolsó szakaszban hajtjuk végre az egyszerűsítést. Sajnos arra nincs csodaszerünk, hogy soha többé ne hibázz, de van egy biztos módszer, ami segíthet! Kitartóan kell gyakorolnod a különböző matekfeladatokat, hogy a fejlődés fenntartható legyen, és önbizalmat kell szerezned. Az algebrai számítások soha nem tűntek még ilyen egyszerűnek!
Ismerkedj meg az osztás rejtelmeivel!
Emlékeztető az algebra egyik fontos elemére: nevezetes azonosságok
Mivel nagyon hasznosak az algebrai kifejezések kibontásához, a nevezetes azonosságokat fejből kell ismerned.A nevezetes azonosság az algebrai kifejezés kibontásának egyik különleges esete. Nevezetes azonosságnak nevezünk bizonyos, polinomiális változókra vonatkozó egyenlőségeket, amik lehetővé teszik a számítások írásának egyszerűsítését, egy kifejezés faktorizálását, vagy éppen ellenkezőleg, a kibontását. Hasznosak másodfokú egyenletek megoldására is. Legyenek a és b tetszőleges számok. Az a és b ismeretlenek lehetnek egészek, valós számok vagy összetett számok. A másodfokú egyenletek három figyelemre méltó azonossága a következő:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²,
- (a - b)² = a² - 2ab + b²,
- (a + b) (a - b) = a² - b².
A második figyelemre méltó azonosság az első különleges esetének tekinthető. Nevezetes szorzatnak nevezzük az (a + b)², (a - b)² és (a + b) (a - b) kifejezéseket. Az egyenlőségjel másik oldalán az a² + 2ab + b² egy nevezetes összeg, akárcsak az a² - 2ab + b² és a² - b². A nevezetes azonosságok lehetővé teszik egy algebrai szorzat átalakítását és egyszerűsítését. Legyen f(x) = (2x - 3)² + (x + 5) (3 - x). A kifejezés bővítéséhez először kibővítjük a nevezetes (2x - 3)² szorzatot:
- (2x - 3)² = (2x)² - 2 x 2x x 3 + 3²,
- = 4x² - 12x + 9.
Szeretnéd megismerni a halmazok titkait?
Ahol f(x) = 4x² - 12x + 9 + (x + 5) (3 - x). Ezután szorzattá alakítjuk a második tagot, figyelembe véve a szorzás és összeadás közötti műveleti sorrendet. (x + 5) (3 - x) = x (3 - x) + 5 (3 - x) = 3x - x² + 15 - 5x = -x² - 2x + 15. Ezért f(x) = 4x² - 12x + 9 - x² - 2x + 15 = 3x² - 14x + 24. Ügyelj a zárójelekre, különösen a nevezetes azonosság kibontásának első szakaszában! Az ilyen típusú csapdák elkerülése a garancia a számítási szabályok helyes alkalmazására, és lehetővé teszi a helyes kibontást. Így hát tedd el a számológéped, bízz magadban és a nevezetes azonosságoknak és szorzattá alakításnak köszönhetően most már önállóan is meg tudod oldani az egyenleteket!Háromszög, téglalapok, egyenlet, törtek, algebrai kifejezések, kúpok – mindez már ismerős lehet számodra! Egy kis gyakorlással a legjobb matematikus válhat belőled!
A platform , amely összeköti a magántanárokat és a tanulni vágyókat
Tetszett ez a cikk? Értékeld!
Loading...